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Il lotto economico (di acquisto e di produzione)

Il lotto economico nasce dalla teoria legata alla gestione a scorte dei materiali in cui la domanda deriva da stime revisionali (effettuate ad esempio ricavando i dati futuri dall'analisi dello storico) e non dalla esplosione di un piano di produzione come avviene invece per la gestione a fabbisogno (esempio MRP).

Esistono due modelli di lotto economico a seconda che si consideri:

  1. Il dimensionamento degli ordini d'acquisto di materia prima verso il fornitore, qualora il livello di scorte a magazzino scenda sotto il livello del punto di riordino (per evitare blocchi di produzione).
  2. Il dimensionamento dei lotti di produzione da processare sulle macchine qualora il prodotto sia realizzato internamente.

Il problema al punto 1) è affrontato con il modello del lotto economico di acquisto (EOQ), mentre quello al punto 2) con il modello del lotto economico di produzione (EMQ).
Prima di vedere nello specifico ognuno dei due modelli occorre fissare alcune ipotesi indispensabili per validarli.
Ipotesi:

  1. la domanda è costante, senza forte stagionalità; la domanda passata (lo storico) viene utilizzata per prevedere la domanda futura.
  2. I costi di emissione dell'ordine (necessari nell'EOQ) e i costi di riattrezzaggio (necessari nell'EMQ), sono noti e fissi, nel senso che non cambiano con la quantità ordinata o prodotta.
  3. Il costo unitario (di acquisto o di produzione) è fisso; non ci sono sconti quantità o economie di scala.
  4. L'intero lotto è consegnato in una sola volta (acquisizione istantanea) o prodotto in un senza rotture di stock.
  5. Il tasso di costo di mantenimento a scorta è costante. (ipotesi ampiamente verificata)
  6. Il tasso del costo di produzione del prodotto è costante.

 

Lotto economico di acquisto (Economic Order Quantity - EOQ)

Il lotto economico di acquisto rappresenta il numero di unità di singolo articolo che dovrebbe essere specificato ogni volta che si emette un ordine, al fine di minimizzare i costi totali di gestione delle scorte di quel singolo articolo, nell'intervallo di tempo pianificato (di solito l'anno).

Variabili da considerare:

  • D: domanda (in un certo intervallo di tempo) del prodotto
  • S: costo di emissione ordine
  • C: costo unitario del prodotto
  • I : tasso di costo di mantenimento (calcolato in percentuale rispetto al costo unitario)


Qualitativamente si vuole minimizzare il costo cercando di non eccedere con le dimensioni del lotto.
calcolo dimensione lotto economico
NB: Per una comprensione corretta dell'EOQ, al di là della formula di facile applicazione, è importante capire che costi rappresentino e come si debbano stimare il costo di emissione ordine ed il tasso di costo di mantenimento.

Costo di emissione ordine
In un dato intervallo temporale (ad esempio un anno) può accadere che un articolo venga riordinato una o più volte (al limite anche una volta al giorno in caso di produzione just in time).


A parità di domanda annuale, la dimensione della media del lotto diminuisce con l'aumentare della frequenza delle ordinazioni.
Il costo di gestioni ordini comprende i costi relativi al lavoro di ufficio necessario per preparare l'ordine di acquisto, i costi di spedizione ed i costi di fatturazione.
Posto che      D/Q = numero di ordini per anno
allora    S(D/Q) = costo annuale di gestione ordini

Costo di mantenimento annuale
Il costo di mantenimento è il costo necessario per finanziare l'acquisto ed il mantenimento delle scorte di magazzino. Il costo di mantenimento aumenta con l'aumentare del numero di articoli inutilizzati. Il costo di mantenimento di un articolo, che viene riordinato poco frequentemente in lotti di grandi dimensioni, sono alti; se invece lo stesso articolo viene riordinato frequentemente in piccoli lotti, il suo costo di mantenimento è basso.
In base ai parametri sopra introdotti il costo unitario di mantenimento per anno è:

costo unitario di mantenimento per anno = I x C

Per una data dimensione del lotto (Q) il costo annuale di mantenimento è pari al costo unitario moltiplicato per il numero medio delle unità che giacciono a magazzino.


In base alle ipotesi fatte (1. domanda costante) supponendo che le scorte possano variare da 0 (nessun pezzo dell'articolo presente a magazzino) e Q (lotto di pezzi appena consegnato) il valore medio di scorte presenti a magazzino è pari a Q/2  (si dimostra che l'area dei triangoli 1 e 2 è la stessa).

Risulta perciò che
I x C x (Q/2) = costo di mantenimento annuale
giacenza a magazzino
Per ottenere il valore che minimizza la  somma tra costo di emissione ordine e  di mantenimento basta sommare i due costi, derivarli rispetto a Q e porre l'equazione uguale a zero. Facendo questo si ottiene la formula dell'EOQ già esposta.

Vediamo un esempio:
Un articolo, che ha un costo unitario di 4€, ha una domanda annuale (basata sull'analisi storica) di 5.000 unità. Il tasso di costo di mantenimento è del 50% ed il costo di emissione ordine è pari a 100€. Calcolare l'EOQ.
Soluzione
Applicando la formula:
 
Il risultato pari a 707 rappresenta il numero di unità di singolo articolo da richiedere ogni volta che si emette un ordine (lotto economico di acquisto).

Lotto economico di produzione - (Economic manufacturing quantity - EMQ)

Il lotto economico di produzione si differenzia da quello di acquisto, in quanto gli articoli vengono "prodotti" e quindi sono disponibili in maniera graduale mano a mano che terminano il ciclo di lavorazione invece di essere consegnati in un'unica soluzione come nell'EMQ.
Proprio in considerazione di ciò il lotto economico di produzione introduce un termine aggiuntivo, d/p, cioè la domanda nell’unità di tempo (d) sulla relativa capacità produttiva (p).
Va da sé che per coprire la domanda deve valere p>d.
Inoltre scompare il costo di emissione ordini ed al suo posto compare il costo di setup (costo relativo al fermo macchina dovuto alle regolazioni necessarie per adattarla alla produzione di un nuovo prodotto).

Variabili da considerare:

  • D : domanda annuale da soddisfare  
  • A : costo di setup
  • C : costo unitario di produzione
  • d : domanda nell’unità di tempo (es settimanale)
  • p:  capacità produttiva (nella stessa unità di tempo di d)
  • I : tasso di costo di mantenimento (calcolato come percentuale del costo unitario)

 

Qualitativamente, come per l'EOQ, si vuole minimizzare il costo totale
eoq costo totale
Cerchiamo di capire come si arriva a questa formula.

Costo di setup
Il costo di setup sostituisce il costo di emissione ordine del modello dell'EOQ, ma ne rispecchia nella sostanza le medesime caratteristiche. Infatti anch'esso è un costo fisso (indipendente dal numero di pezzi da produrre). Esso viene ripartito di volta in volta sul numero di pezzi di cui è formato il lotto di produzione. Proprio perché è un costo che non aggiunge valore al prodotto occorre cercare di minimizzarlo.
Il numero di setup che in un dato intervallo di tempo si realizzano su un impianto è pari a:
D/Q = numero di riattrezzaggi / intervallo di tempo (supponiamo l'anno)
allora:       A x D/Q = costo annuale di setup


Costo annuale di mantenimento
Come per l'EOQ  una data dimensione del lotto (Q) il costo annuale di mantenimento è pari al costo unitario moltiplicato per il numero medio delle unità che giacciono a magazzino.
In questo caso occorre tenere conto del fatto che le unità prodotte, per soddisfare la domanda, vengono consegnate non tutte nel medesimo istante ma in maniera progressiva, man mano che vengono realizzate.
In questo caso la giacenza media delle merce a magazzino in un dato intervallo di tempo è pari a ancora Q/2 moltiplicato per un valore che tenga conto della sfasatura temporale introdotta dalla produzione graduale del lotto e non dalla sua consegna istantanea come nell'EOQ:
 
Senza approfondire matematicamente l'esposizione, si noti come il tratto in salita della curva non sia perpendicolare (come nell'EOQ) ma leggermente inclinato, testimoniando la progressiva realizzazione della produzione del lotto.
Per ottenere il valore che minimizza la  somma tra costo di emissione ordine e  di mantenimento basta sommare i due costi, derivarli rispetto a Q e ponendo l'equazione uguale a zero. Facendo questo si ottiene la formula dell'EMQ già esposta.

Vediamo un esempio:
Un articolo prodotto internamente ha un costo di 4€ ed una domanda annuale di 5.000 unità. Il tasso di mantenimento a scorta è pari al 50%, mentre il costo dovuto ad un intervento di setup è pari a 100 €. La capacità produttiva settimanale del pezzo è pari a 500 pezzi e la domanda annuale è costante per tutto l'anno. Calcolare l'EMQ.

Soluzione:
Sapendo che la domanda è costante per tutto l'anno e considerando 50 settimane lavorative otteniamo 5.000/50= 100 pezzi (domanda/settimana).
Applicando la formula:

 
Il risultato pari a 791 rappresenta il numero di unità di singolo articolo che compongono il lotto economico di produzione.

Calcola il Lotto Economico di Acquisto

  • D: domanda cumulata in un anno del prodotto in pezzi/anno =
  • S: costo di emissione ordine (come su indicato) in euro =
  • C: costo unitario del prodotto (come su indicato) in euro =
  • I : tasso di costo di mantenimento (calcolato in percentuale rispetto al costo unitario) valore compreso tra 0 e 1 = 
 
D: domanda cumulata in un anno del prodotto in pezzi/anno
S: costo di emissione ordine (come su indicato) in euro
C: costo unitario del prodotto (come su indicato) in euro
I: tasso di costo di mantenimento (calcolato in percentuale rispetto al costo unitario) valore compreso tra 0 e 1
     
 

Calcola il Lotto Economico di Produzione

  • A : costo di setup (in euro ad intervento) =
  • D : domanda annuale da soddisfare  =
  • d : domanda settimanale (D/settimane lavorate per anno)=
  • p:  capacità produttiva settimanale =
  • C : costo unitario di produzione (in euro al pezzo) =
  • I : tasso di costo di mantenimento (calcolato come percentuale del costo unitario) valore compreso tra 0 e 1

    A: costo di setup (in euro ad intervento)
    D: domanda annuale da soddisfare
    p: capacità produttiva settimanale
    C: costo unitario di produzione (in euro al pezzo)
    I: tasso di costo di mantenimento (costo di stoccaggio: calcolato come percentuale del costo unitario) valore compreso tra 0 e 1 ( di solito varia tra il 15% e il 30% annuo)
    d: domanda settimanale da soddisfare